על המספרים האי-רציונליים והשאיפה הטראגית אל המוחלט
מאת איילת מקובר
גילוי הבלתי-מוחלט במדע
המספרים האי-רציונליים התגלו ביוון העתיקה על ידי היפאפוס, חבר הכת הפיתגוראית, כתוצאה ישירה של משפט פיתגורס. אפלטון מדגים זאת בדיאלוג מנון, במהלכו סוקרטס מראה לנער, עבדו של מנון, כיצד ניתן לבנות ריבוע כפול בשטחו על ריבוע נתון ששטחו 4. בהדרכתו של סוקרטס מגלה הנער כי זהו ריבוע שבנוי על האלכסון ומידתו 8√, שהוא מספר אי-רציונלי (אפלטון, 1997). לאחר מכן נוספו מספרים נוספים כאלה, כגון פאי π, המייצג את היחס בין היקף המעגל לקוטרו, ואחרים. גילויים של מספרים אלה שם לאַל את ניסיונם של הפיתגוראים להגיע לתיאור מושלם והרמוני של המציאות באמצעות מספרים – ניסיון בו עסקו באותה תקופה בעקבות אמונתו של פיתגורס כי כל התופעות ביקום ניתנות לתיאור כיחסים יפים ומושלמים בין מספרים. הפיתגוראים הסתירו את המספרים האי-רציונליים, שגרמו לשבר עמוק בתפיסת עולמם. עם זאת, כדרכם של סודות רבים סופו של סוד זה היה להתגלות. היפאפוס, שגילה אותו, שילם על כך בחייו – הוא הושלך למים עמוקים כשאבנים בכיסיו.
המספרים האי-רציונליים מכונים גם "מספרים חסרי מידה משותפת" (incommensurable), שכן הם אינם ניתנים לביטוי באמצעות מנה של שני מספרים שלמים, ובניסיון לבטאם כמספר עשרוני מתקבל מספר בעל אינסוף ספרות מימין לנקודה העשרונית, ללא מחזוריות. הרי לנו גודל מוחשי ומוגדר ונראה לעין, שניתן לסימול, אך אינו ניתן לכימות מדויק.
המספרים האי-רציונליים חשפו תכונה עמוקה ויסודית של ההכרה האנושית: הפער המובנה הקיים בין היסוד השכלי - המבין ויוצר מושגים מופשטים, לבין היסוד החושי - הקולט את הממדים המוחשיים של המציאות. היסוד השכלי נועד להטיל סדר ומבנה בשטף הכאוטי של הרשמים הנקלטים בחושינו, כדי לאפשר לנו להבין את העולם ולהתנהל בו בצורה המאפשרת את קיומנו. עד לגילויים של המספרים האי-רציונליים ניתן היה להתעלם מהפער בין המוחשי למופשט, ולדמות מצב שבו ההכרה האנושית תוכל ליצור תמונת עולם מושלמת והרמונית למופת. אידיאל זה קרס כתוצאה מהגילוי הנורא - שכן הוא חשף את האמת המצערת שקיימים גדלים אשר אינם ניתנים לביטוי באמצעות מספרים. השאיפה הלוגית-אסתטית לתאוריה שלמה ומוחלטת חטפה מכה קשה; מכה שהייתה טרגדיה גדולה עבור הגישה הפיתגוראית.
אולם פילוסופים, מתמטיקאים ומדענים לא ויתרו על השאיפה אל המוחלט, שניחן ביופי מהפנט ובעל כוח עצום, שקשה עד בלתי-אפשרי לעמוד בפניו, ורבים ניסו להעפיל אל האולימפוס של הידיעה המושלמת. אחד מהם היה קפלר, שניסה אף הוא להגשים חזון מופלא זה. נסיונו לתאר את מסלולי כוכבי הלכת סביב השמש נתקל במשך שמונה שנים ארוכות בהתנגדותו הפנימית, לְמה ששב ועלה מתוך חישוביו ונוסחאותיו – דהיינו, שמסלולם הוא אליפטי והשמש נמצאת באחד משני מוקדי האליפסה. קפלר שאף וציפה למצוא גופים משוכללים כלואים בין מסלולי כוכבי הלכת, והתנגד לעובדות שלא עלו בקנה אחד עם הנחות המדע בן זמנו ועם האידיאל המתמטי, עד שהמציאות גברה על ההנחות התיאורטיות והוא הכיר בעובדות (קסטלר, 1970). מעניין לציין שבעניין אחר ניצחה נאמנותו של קפלר להנחותיו המוקדמות את העובדות: אף שהיה כפסע מגילוי כוח המשיכה עליו הצביעו כל חישוביו, הוא נותר כלוא בהנחותיו; גילוי כוח המשיכה נותר לניוטון, שהיה אדם דתי מאוד ומיסטיקן, ועל כן קל היה לו יותר לקבל את ניפוץ ההנחות הפיזיקליות שעצרו את קפלר מגילויו (שם).
דוגמה נוספת, לא רחוקה מזמננו, היא הניסיון שמגלמת עבודתם גדולת הממדים של ברטראנד ראסל ואלפרד נורת' וייטהד – "פרינקיפיה מתמטיקה" – שפורסמה בשנים 1910-1913 (ועודכנה ב-1927). בעבודה זו נעשה ניסיון שאפתני לארגן את המתמטיקה על כל ענפיה כמערכת לוגית שלמה ועקבית, כלומר כזו שניתן יהיה להוכיח בה כל משפט מתמטי או היפוכו (מונק, 2001). אולם שאיפה פיתגוראית זו נתקלה אף היא בחוסר אפשרות טראגי, כפי שהוכיח גדל במשפטי אי-השלמות שלו, המראים כי למעשה שום ניסיון כזה לא יוכל להגשים את המטרה הנשגבת; המתמטיקה אינה מערכת שלמה, וקיימות אמיתות מתמטיות שאינן ניתנות להוכחה במסגרתה. יתרה מכך, אף אין דרך לדעת האם משפטים מסוימים הינם נכונים או לאו, למשל "השערת המספרים הראשוניים התאומים" לפיה קיימים אין סוף זוגות של מספרים ראשוניים עוקבים (בסילוק הזוגי שביניהם), למשל 17,19 ; 29,31 , וכן הלאה, ו"השערת גולדבך" – שהיא השערה בתורת המספרים על פיה כל מספר זוגי גדול מ-2 ניתן להצגה כסכום של שני מספרים ראשוניים. משפטי אי-השלמות של גדל קעקעו את יסודותיה של האמונה כי בכוחו של השכל האנושי להקיף את המציאות ולתארה באופן שלם ומוחלט, שכן הם הדגימו כי לא זו בלבד שקיים פער מובנה בין ההיבט השכלי לבין ההיבט החושי של ההכרה, אלא חשפו כי גם בתוך המבנה השכלי-הלוגי עצמו אין אפשרות להגיע לשלמות.
אי אפשר שלא להזכיר את תורת הקוואנטים ואת המהפכה שהביאה לעולם המדע – מהפכה ששמטה את הקרקע מתחת לרגלי האמונה כי קיימת ממשות וודאית ומוחלטת – הנחה שהיתה יסוד מכונן בחשיבה המדעית. על אף תרומתו הגדולה לתאוריה זו, לא הצליח אינשטיין להסכים עם מה שנגזר ממנה, כפי שביטא באמרתו הידועה, "האל אינו משחק בקוביות".
ובכן, מסתבר שלצד גילויים מבריקים ומדהימים, הולידה התפתחות המתמטיקה והמדעים גם רצף של אכזבות קשות המזכירות לנו את מקומנו הצנוע בעולם. האם יימשכו הנסיונות ההירואיים להגיע לתמונת עולם פיתגוראית, או שמא חטפה תפיסת עולם זו מספיק מכות אנושות והתנפצה די פעמים אל קירותיו המגבילים של השכל האנושי בכדי להוריד ציפיות – והמתמטיקאים, המדענים, והפילוסופים יסתפקו בפחות. האם הרוח האנושית, שנושאת דחף עז לידיעה שלמה ומוחלטת, תוותר ותשלים עם המציאות, או שמא תשוב לנסות? ימים יגידו.
על חוסר השלמות בתחומים שונים
על כל פנים, השאיפה לדיוק לא מטרידה רק את העוסקים בתחומי המדעים, אלא גם את אלו שעוסקים בתחומים נוספים, למשל בתחום המילולי. מילים הן סמלים, ושפה כוללת מערכת של סמלים, וחוקים המקשרים ביניהם, המאפשרת לתאר, להסביר, לארגן ולהעביר מידע. מידע זה יכול להיות קשור למצבים, התרחשויות, רעיונות, מבנים, תחושות, רגשות, וכיו"ב. הוגים, סופרים ומשוררים רבים עברו מסע מפרך בחיפושם אחר המילה המדוייקת, הניסוח המדוייק, ואף סימני הפיסוק המתאימים. בספרו של פיליפ רות', סופר הצללים, מסביר הסופר הוותיק לסופר הצעיר הבא להתייעץ עמו, שהוא "הופך ומהפך משפטים. אלה הם חיי. אני כותב משפט ואחר כך הופך ומהפך אותו. אחר כך אני מסתכל בו ושוב הופך אותו". (רות, 1981). עבודתו מדגימה כי החתירה לניסוח מדויק היא לעיתים קרובות מסע מפרך ומתסכל הדורש קירובים רבים בניסיון לצמצם את הפער בין הרעיון אותו מחזיק פלוני בדמיונו, לבין מימושו במילים, עד שהתוצאה תניח את הדעת. זוהי מנת חלקם של משתמשים רבים בשפה, הכתובה והמדוברת, בתחומים שונים ומגוונים.
תחום נוסף בו מתגלמת השאיפה אל המוחלט הוא ההיבט החברתי-התרבותי של החברה האנושית – בדמות דתות, אידאולוגיות, תפיסות עולם, הבאות להסדיר את המציאות האנושית-חברתית. ככל שהן מתפתחות דורשת שאיפתן לשלמות דיוקים קפדניים יותר ומעמיסה עוד ועוד חומרות על הנוהים אחריהן, כפי שממחישה הבדיחה הבאה:
בקבלו את התורה במעמד הר סיני פתח משה את הכתובים והציץ לרגע. אזי פנה אל האל ואמר:
"כתוב כאן 'אל תאכל גדי בחלב אימו,"
"אכן," ענה האל,
"ומה לגבי גדי בחלב של עז שאינה אמו?"
אמרתי "אל תאכל גדי בחלב אימו," השיב האל,
משה החל לרדת מן ההר, אך לפתע שב על עקבותיו,
"רגע אחד, ומה לגבי עגל בחלב אימו?"
"אמרתי 'אל תאכל גדי בחלב אימו'," חזר האל,
משה פנה לדרכו אך לפתע שוב סב על עקביו וחזר. התהליך חזר על עצמו שוב ושוב (נתאר זאת בתמצית, כדי לקצר סיפור ארוך...)
- "ומה לגבי עוף בחלב כלשהו?"
- אמרתי "אל תאכל גדי בחלב אימו,"
- "וכמה זמן ייחשב לא לאכלם יחד, האם מספיק להמתין ביניהם חצי שעה או שמא יותר?"
- "משה, עשה מה שאתה רוצה, רק עזוב אותי מהשאלות שלך..." השיב האל העייף...
גם תהליך מבורך וחיובי כמו שאיפה לצדק חברתי עלול לגלוש לכדי טוטאליות. ניתן לראות זאת בשדה התרבותי-פוליטי, למשל במגמה לתיקון העוול ההיסטורי של האפליה הגזעית נגד שחורים בארה"ב – תהליך רצוי שהחל בשנות ה- 50-60 של המאה העשרים בחקיקת חוק זכויות האזרח וביטול חוקי ההפרדה הגזעית (חוקי ג'ים קרואו) כמו גם בהנהגת אפליה מתקנת – ונמשך בימינו בביטול סמלים ואישים המייצגים גזענות. למשל החלטת המוציא-לאור של ספרי ד"ר סוס, סופר הילדים הנודע, להפסיק את הדפסת חלק מספריו עקב דימויים גזעניים המופיעים בהם (Palmer, 2001). או הוצאת ספרו של מארק טווין, הרפתקאותיו של האקלברי פין (1884) מספריות ציבוריות ומערכות חינוך שונות בארה"ב עקב שימוש ב- N-Word וסטריאוטיפים גזעניים. אותו גורל נפל גם בחלקו של הספר אל תיגע בזמיר (1961) מאת נל הרפר לי על שימוש באותה מילה (Lock, 2021). כמה אירוני ששתי יצירות נפלאות אלו – שמקומן בקנון הספרותי הבלתי-מצונזר שמור לבטח – יוצאות במובהק נגד העבדות והגזענות. מעניין אגב לציין ששני הסיפורים מסופרים מפיהם של ילדים; האק פין בן כ-13 שמתחבר עם ג'ים העבד הנמלט במסעו אל החופש, וסקאוט פינץ' בת ה-6 שאביה אטיקוס פינץ' הוא עורך דין המגן על שחור הנאשם באונס. דוגמאות נוספות למגמה זו הן השמטת שמו של אייזק ניוטון משלושת חוקי הפיזיקה שגילה מאחר שהוא מייצג עליונות לבנה והרוויח מהקולוניאליזם (Christoforou, 2001; Raliani, 2021), או יוזמות לפיתוח פרקטיקות ותכנים ללימוד מתמטיקה שאינם מבוססים על השיטות והתכנים הנהוגים באופן מסורתי, שכן הללו מגלמים את אותה עליונות לבנה (Bond, 2021). זוהי מטרה מבורכת, אך יש לבחון האם הידע המתמטי אינו מועלה לעולה בתהליך זה.
התרחשויות אלה מעוררות את השאלה הבאה: האם השאיפה לשוויון מוחלט לא הגיעה לנקודה בה היא גולשת לאבסורד וגורמת נזק לתרבות ולמדע, ונוסף על כך, אף מעצימה את תחושת העוול והקיפוח? שכן אם קיימת שאיפה לשוויון מוחלט, הרי שכל סטייה ממנו נתפסת כבלתי נסבלת. למרבה הצער יכול אידאל זה להתקיים רק בעולם האידאות של אפלטון, ולא בעולם הממשי. המשמעות בעיניי היא לא שצריך לחדול מן החתירה אל השוויון, אלא שכדאי לעשות זאת תוך שיקול דעת והימנעות מהפרזות וממצבי אבסורד, ללא ניסיון לכפות על המציאות עקרונות בלתי ניתנים ליישום.
הויתור על השאיפה למוחלט בפסיכותרפיה
שאיפה זו אל המוחלט והמושלם מוכרת היטב לעוסקים בפסיכותרפיה, הפוגשים אותה בכל מיני מובנים, גם בקרב מטופליהם. היא מופיעה אצל הבריות לפרקים כיתרון, שמביא לשיפור תפקודו של אדם ותפקוד המכלול בו הוא פועל, ולפרקים כמצוקה שגורמת לו ולסובביו סבל רב, מעכבת אותו, מצמצמת את קיומו וגורעת מרווחתו עד כדי הפרעה נפשית. כמיהה זו עלולה לעורר בלבול, חרדות, תסכול, כעסים, קונפליקטים פנימיים וחיצוניים במצב בו אין הלימה בין המתרחש לבין התביעה הפנימית לעקביות ושלמות. הרדוקציה של שאיפה זו למקורותיה הפילוסופיים – אותה מציע מאמר זה – מאפשרת להבין את עומק שורשיה במבנים היסודיים ביותר של ההכרה האנושית. היא מוטבעת בנו באופן מבני כתוצאה מהפער בין הכושר החושי הרציף, לבין הכושר השכלי היוצר מושגים מופרדים ומובחנים על ידי קיטוע הרצף החושי. הניסיון ללכוד בשלמות את הרציף על ידי הקטוע – בעולמנו המוגבל ומתעתע – נועד לתסכול ואי-נחת מתמדת, משום שהשמיכה קצרה מדי; אם נכסה את האוזניים – יציצו כפות הרגליים, ולהפך.
האם נצא לחיפוש אחר משהו שהוא מעבר להשגתנו – או שמא נאמר נואש ונוותר על כל המסע? עניין זה תלוי בעמדתנו מול אי-הידיעה ויכולתנו לשאתה: במוכנות לחפש ולמצוא תשובות חלקיות, ולהכיר בכך שידיעתנו אינה שלמה ובכל זאת המסע נמשך. אחד מבני-שיחי, מורה למתמטיקה בבית ספר תיכון, שפנה עקב קושי להפעיל משמעת בכיתה, היה בעל גישה גמישה וסובלנית לטעויות, כולל טעויותיו שלו עצמו כאשר אלה התגלו מדי פעם על ידי תלמידיו בשעה שכתב על הלוח. הלז נטה לראות זאת באורח חיובי כעדות לכך שיש בין התלמידים כאלה העוקבים אחריו וקשובים לדבריו, ולא היסס לומר להם זאת. האם בשל כך נפגעה סמכותו בעיניהם? ייתכן, אך עמדה זו חשובה יותר להתפתחותם האיטלקטואלית והרגשית מאשר נוקדנות ונוקשות יתרה – כדברי חז"ל: "לא הביישן למד, ולא הקפדן מלמד".
בתחום הפסיכותרפיה, המטפל עשוי להכיר את השאיפה למוחלט לא רק דרך עמדותיו הנפשיות של המטופל, אלא גם בעקבות רצונו שלו להגיע לידיעה מוחלטת. למול רצון זה, עמדת המטפל כבלתי-יודע היא בעלת ערך רב לתהליך הגילוי העצמי של המטופל (בפרקטיקה הפילוסופית הוא נקרא "בן-שיח"), שכן היא מהווה הזמנה עבורו לפנות פנימה אל הידע הקיים בתוכו - אם אמנם אנו מקבלים את ההנחה שקיים בו ידע הייחודי רק לו, ושלו בלבד ישנה גישה אליו. סוקרטס מעיד על עצמו שהוא עוסק באומנות המיילדוּת:
"סוקרטס: ...בעצמי אין אני יולד דבר-חכמה, ואותה טענה של גנאי, שכבר השמיעו כנגדי אנשים רבים, הרי היא אמת: שאני שואל אחרים, ועצמי אינני מעלה ולא כלום בשום ענין, כיוון שאין בי שום חכמה. וטעמו של הדבר: האלוה כופה אותי שאהיה מיילד, ומנעני מלדת. לפיכך אינני חכם ביותר, ושום המצאה מחוּכֶּמת לא נולדה לי כפרי נשמתי." (אפלטון, 1997)
בהשאלה לתחום הפסיכותרפיה, עמדה זו, המעצימה את המטופל ואת התהליך הפסיכואנליטי, צריכה לנבוע משכנוע פנימי ולא מהעמדת-פנים, שכן מטפל שאינו מאמין שהמטופל מחזיק בידע ייחודי או שאין חשיבות לידע זה, לא ינסה לגלותו, לא ישתמש בו כשיעלה, ואף עלול להחטיאו ולפטור אותו כחסר חשיבות. בכך יחמיץ מידע רב-ערך שעשוי לתרום רבות לקידום הטיפול והטבת מצבו של המטופל.
לא קל להפנים ולאמץ עמדה זו, שכן מטפלים צוברים ידע תאורטי וקליני רב במהלך הכשרתם ונסיונם המקצועי. אך בעיני ההסתמכות על הגדרות ואבחנות, גם אם גלומים בהן יתרונות רבים, צריכה להיות מוגבלת. כמו בכל תחום כן גם בפסיכותרפיה: תפיסות, מושגים ורעיונות יכולים להתפתח, להשתנות ואף להיזנח, ולכן כדאי שההישענות עליהם תהיה מידתית.
חשוב להדגיש כי לא מדובר בעמדה הומניסטית או אתית, אלא בעמדה אפיסטמולוגית: המטופל הוא מקור ידע, כפי שהיטיב לנסח ד"ר אלון רשף, מנהל מערך-פסיכיאטריה בבית-חולים העמק בעפולה, בהרצאה במועדון החברתי של אנוש: "אתם יודעים הכי הרבה על המחלה שלכם, אתם מכירים אותה הכי טוב, וחפשו עליה באינטרנט."
עמדה זו היא יסודית גם בגישתו של פרויד עצמו, האב המייסד של תחום הפסיכותרפיה, וכך הוא כותב: "המקרים המוצלחים ביותר הם אלה המתנהלים לכאורה בלי משים, מבלי שהצבנו לנו מטרה כלשהי, ובהם הרשינו לעצמנו להיות מופתעים מכל תפנית וקידמנו אותה בכל עת בתום לב וללא הנחות מוקדמות." (ההדגשה של כותבת המאמר), וגם "איני שש להיעזר בכתבים פסיכואנליטיים עם מטופלי. אני דורש שילמדו על בשרם ומבטיח להם שכך יגלו דברים רבים יותר ובעלי ערך רב יותר מכפי שהספרות הפסיכואנליטית כולה יכולה לומר להם." (פרויד, 2013)
לא קל לוותר על הסמכות הנלווית לידע המקצועי שהוא השלט של המטפל. ייתכן שמטופלים המחזיקים בידע שלמדו מהאינטרנט או מספרות מקצועית עלולים לאיים על סמכותו. אך אם הוא בטוח בעצמו וודאי לא יבהל משיח פתוח ומאפשר. בסופו של דבר כל מטופל הוא ברייה אנושית ייחודית וחד-פעמית. התאוריות והאבחנות חלות עליו באופן חלקי לכל היותר, וכדי לגלות את החלק הייחודי שבו שאינו נלכד באמצעותן, נכון בעיניי לצאת לדרך גילוי שאינה מותווית בידי תאוריות, ידע וניסיון. אין צורך להיבהל מ"לא-לדעת", מוטב להישאר סקרנים ותוהים על פני להיות מבוצרים בעמדה ידענית השוללת כל התבוננות מחדשת. כמאמר חז"ל: "למד לשונך לומר איני יודע".
בברכת מסע מעשיר ומרחיב את הדעת, הן למטופל והן למטפל.
מקורות
אפלטון. (1997) כתבי אפלטון, כרך א, מנון. (תרגום: י"ג ליבס). ירושלים ותל-אביב: הוצאת שוקן.
אפלטון. (1997) כתבי אפלטון, כרך ג, תאיטיטוס. (תרגום: י"ג ליבס). ירושלים ותל-אביב: הוצאת שוקן.
מונק, ר. (2001) ראסל – מתמטיקה – חלומות וסיוטים. (תרגום: ע' מרקוזה-הס). תל-אביב: הוצאת משכל.
פרויד, ז. (2013). עצות לרופא על הטיפול הפסיכואנליטי, בתוך הטיפול הפסיכואנליטי. (תרגום: ע' רולניק). תל-אביב: הוצאת עם עובד.
קסטלר, א. (1970) יוהאנס קפלר – ביוגרפיה. (תרגום: ח' בן-עמרם). תל-אביב: הוצאת דביר.
רוֹת, פ. (1981) סופר הצללים. (תרגום: ח' גליקשטיין). תל-אביב: זמורה ביתן מודן הוצאה לאור.
Bond, P. (2021, February 23). Math suffers from white supremacy, according to a Bill Gates-funded course. Newsweek, Retrieved from https://www.newswe...71511
Christoforou, A. (2021, April 29). Sheffield University wants to cancel Isaac Newton & gravity for being racist. Verity Weekly, Retrieved from https://www.verity...acist/
Lock, S. (2020, November 13). 'To kill a mockingbird,' other books banned from California schools over racism concerns. Newsweek, Retrieved from https://www.newswe...47241
Palmer, E. (2021, March 2). Here's why these six Dr. Seuss books are being pulled on read across America day. Newsweek, Retrieved from https://www.newswe...73118
Ragliani, E. (2021, March 11). Newton too? NY prep school changes the name of “Newton’s laws” in order to “de-center whiteness”. Trending Politics, Retrieved from https://trendingpo...eness/
