תפיסת מספר וחשיבה חשבונית אצל ילדים

"חמש שנים עברו על מיכאל עברו במשחקים, בטל ישב מעבודה, חופשי מלימודים…" ורק כעת, משנכנס מיכאל לגן החובה, הוא מתוודע לראשונה לעולם אחר, של אותיות ומספרים. האמנם? למעשה, הבסיס לכל המיומנויות הבסיסיות, הכתיבה הקריאה והחשבון, נרכש עוד קודם. במאמר זה ננסה להצביע על שורשי החשיבה החשבונית ותפיסת המספר של ילדים בגיל הרך, וממנה, ננסה להסיק כיצד לעזור לילדים לבסס יכולות אלו.

בעבר רווחה התפיסה כי חשיבה חשבונית היא עניין תלוי תרבות והשכלה, וקשור קשר הדוק בהתפתחות הלשונית, יכולת הדיבור והכתיבה. אך מחקרים עדכניים יותר מוכיחים כי היבטים מסוימים של החשיבה החשבונית מצויים גם בחברות שלא פיתחו כתב, וגם אצל תינוקות וילדים צעירים, בטרם היות השפה. למשל, השימוש בכסף, המצריך מטיבו חשבונאות, נמצא בחברות רבות, ביניהן חברות שאינן משתמשות בכתב. להבדיל, אפשר להצביע על יכולות חשבוניות מסוימות גם אצל בעלי חיים. חיות רבות מסוגלות להבחין בין כמויות ואפילו בין מספרים. אמנם, יש ליכולת החשבונית קשר הדוק למאפיינים התרבותיים וללמידה, אך ישנם יכולות קדם חשבוניות שקיימות גם בלי תלות בגורמים אלו.

עוד בארבעת או חמשת החודשים הראשונים לחייהם מסוגלים תינוקות להבחין בין מערכים חזותיים הכוללים מספר שונה של פריטים, עד כמות של ארבעה פריטים. במבט והערכה חזותית הם מסוגלים להפגין תגובות שונות לכמויות נבדלות, בעוד כשהכמות זהה התינוקות יפגינו הערכה כי לא חל שינוי כמותי. היכולת הזו אינה תלויה בסוג הפריטים המוצג לפניהם, בצפיפות בה הם מוצגים או בשונות בין הפריטים – כלומר, תינוק מסוגל להבחין שמדבור בארבעה פריטים ולא בשלושה, גם אם בקבוצה המוצגת לפניו יש פריטים שונים, וגם אם זו קבוצה הומוגנית, של פריטים זהים. מכאן, שתינוקות מחשיבים כמות כממד משמעותי, בדומה לממדים אחרים בהם יבחינו (גודל, צבע, צורה, ועוד).

 

מתמטיקאים צעירים

בגיל בו ילד מסוגל לדבר (בערך בגיל שנתיים עד שנתיים וחצי) הוא מסוגל גם ללמוד "לשיר" את המספרים על פי הסדר: "אחת, שתיים, שלוש, ארבע,..". בתחילה זהו רק רצף מילולי, נטול משמעות מהבחינה המספרית עבור הילד. בהמשך, הילד יצטרך ללמוד כי כל מספר מבטא כמות מסוימת, קבועה ומתאימה רק למספר זה: חמש אצבעות הן בדיוק כמו חמישה כדורים או חמש סוכריות. המספר חמש מבטא תמיד כמות מסוימת, לא יותר ולא פחות. אך בטרם יגיע להישג משמעותי זה יהיו כמה שלבי ביניים.

המושגים החשובים להבנה החשבונית הולכים ומתעדנים עם הגיל, מטבע הדברים: מהבנה של המושג "הרבה" והיפוכו "מעט", ועד לשימור המספר, שמתרחש בדרך כלל בסביבות גיל 6-7. חשיבה חשבונית, במהותה, מבוססת על יכולות לוגיות שונות – מיון, השוואה, הכללה, למעשה, על היכולת הקוגנטיבית הכללית של הילד. מכיוון שבשנתיים הראשונות הקוגניציה נבנית בעיקרה באמצעות ההתנסויות החושיות והמוטוריות (ראו באתר זה מאמר על התפתחות קוגנטיבית), הרי שכל התנסות כזו היא אמצעי לסייע להתפתחות החשיבה המתמטית. למשל, גל יושבת באמבטיה עם מספר כוסות וכלים, וממלא מים מאחד לשני. היא בוחנת נפח, גודל יחסי, ממדים שונים (עומק, רוחב), והשפעתם על הכמות. שלא לדבר על גילוי מחודש של חוק ארכימדס! כמעט כל תינוק, בסביבות גיל שנה לערך, ינסה להכניס חפצים אחד לתוך השני ובכך ילמד משהו על גודל יחסי, שגם הוא נחוץ להבנה החשבונית המתפתחת. עוד חוויה שקשורה מאד להבנה החשבונית היא ירידה ועליה במדרגות. כשדליה עולה עם בר במדרגות הבית, ויחד הם מונים-מזמרים "אחת, שתיים שלוש…" בר לומד כי המספר מהווה ציון מצטבר של מיקום במרחב. ככל שעולה המספר, עולה גם המיקום שלי במרחב, מבין בר.

 

העולם הכפוף לחוקים   

גם ילדים בגיל הרך, שהלוגיקה שלהם אינה תמיד מצייתת ללוגיקה של עולם המבוגרים, מגבשים, אם כן כמה הבנות על החוקים על פיהם מתנהל העולם. לעיתים הם יתנו לחוקיות הזו הסברים מאגיים או לא לוגיים (הכוס מתרוקנת כשאני שותה ממנה. אני צמא. לכן ככל שאני צמא כך הכוס הולכת ומתרוקנת). אבל ההתנסות החוזרת ונשנית מתגבשת לאט לאט לכלל הבנה לגבי חוקים מסוימים שתקפים תמיד. ננסה להצביע על חלק מהחוקים שמהווים את הבסיס להבנה החשבונית המתפתחת בילדים:

ישנו סדר אורדינלי של כמויות: למשל, אם לירדן יש סוכריה אחת, והיא מקבלת עוד אחת, הרי שכעת יש לה שתיים, ושתיים הן יותר מאחת. ואם כעת תתווסף לה עוד סוכריה, יהיו לה שלוש, ושלוש הן יותר משתיים. מכאן ברור ששלוש הן בוודאי יותר מאשר אחד, רק משום ששלוש משמעו יותר משתיים.

חוק הקארדינאליות: הכמות מבוטאת על ידי המספר האחרון שהוכרז בעת הספירה. בסביבות גיל שלוש עד ארבע לערך ילדים מבינים כי כדי להעריך במדויק (ולא באומדן או הערכה בו זמנית) את מספר הצבעים בקופסא הם צריכים לספור, והמספר האחרון אליו יגיעו יהיה מספר הצבעים.

התאמה חד-חד ערכית: אפשר להתאים את הכמות של פריטים מסוג אחד לכמות של פריטים אחרים. אם צריך לערוך את השולחן לארוחה, ואצלנו במשפחה יש ארבעה אנשים, הרי שצריך לערוך על השולחן ארבע צלחות, ארבע כוסות, ארבעה מזלגות, וכולי. גם כאן, התנסות מעשית עוזרת לילד להבין את הכלל, וכדאי להצביע בפניו על האלמנט הכמותי, וגם לגייס אותו לעזור לערוך את השולחן, לטובת הכלל…

חוק החילוף: אם הוספתי שתי קוביות לשלוש הקוביות שהיו במגדל, יהיו לי חמש בסך הכל. ואם אוסיף שלוש קוביות לשתי קוביות שיש לי הפעם, גם כאן תמיד אקבל את הכמות הזהה – חמש.

שימור המספר: מספר הפריטים שיש בפני אינו משתנה רק משום ששיניתי את סדר הפריטים, או את הצפיפות שלהם. המספר ישתנה רק אם אוריד פריט או אוסיף אותו לקבוצה. הבנה זו נרכשת לרוב רק בגיל 5-6, אך תרגול הילדים בתהליכים של שימור מספר עשויה להקדים את הבנת החוק.

הקשר בין הוספה והפחתה: למרבית הילדים קשה הרבה יותר להבין פעולות של חיסור, בעוד שהם מבינים היטב את משמעות החיבור. מסתבר שהחיסור אינו רק משימה קוגנטיבית, אלא פעולה שטעונה במשמעות פסיכולוגית, ומעוררת רגשות שלא תמיד נעים לחוות. רק בסביבות גיל 6-7 מתייצבת ההבנה כי החיבור והחיסור הם שני הצדדים של אותה מטבע.

 

החוויה החשבונית

כאמור, היכולת החשבונית אינה מנוטרלת מחוויות רגשיות, ולכן לא בכדי אחת ההמשגות הקשות לביצוע ומעוררות רגשות היא הבנת המושג "אפס". גם מבחינת התפתחות המתמטיקה במהלך ההיסטוריה היה ה"אפס" בבחינת חידוש משמעותי שחידשו מתמטיקאים ערבים. לקראת הכניסה לכיתה א' מרבית הילדים יבינו כי גם להעדר מספר יש משמעות מספרית חשובה. כשיתוודעו לטבע של מערכת המספרים, יבינו את מקומות של האפס גם ב"שמירת" מקום לפריטים נוספים ובמערכת העשרונית. בשלבי החיים המוקדמים יותר הילד עסוק בהבחנה שבין "יש" ו"אין", וכימות היש לכמויות קונקרטיות. ילדים צעירים מתרגלים ובודקים את החוויה של "אין" לעומת היפוכה. הבנה זו מקדמת את יכולת ההתבוננות שלהם והסיווג של עולם במושגים דיכוטומיים: שני קצוות מנוגדים, המבטאים דבר והיפוכו.

חוויה נוספת שחשובה להתפתחות החשיבה החשבונית נוגעת למושגי מרחב: מעל ומתחת, ליד, בתוך, מחוץ, לפני ואחרי, וכדומה. מושגים אלו מבססים את התחושות שיובילו בהמשך למתמטיקה של המרחב, גיאומטריה והנדסת המרחב. בתחילה מושגים אלו נחווים בעיקר בהקשר לגוף: מה נמצא מעל הראש של שירי? מה עומד מאחוריה? על מה היא יושבת, ומי מהחברים יושב לידה? מושגים אלו נרכשים בדרך כלל באופן טבעי וללא צורך בהתערבות. בכמה מקרים נראה קשיים בהבנת מושגים אלו, ואז יהיה צורך בהבנייה ובלימוד מוסדר של מושגי מרחב. ילדים מסוימים יתקשו בהיבט המוטורי-תחושתי שעומד בבסיס מושג כמו "מעל", בשל קשיים בהתפתחות המוטורית-תחושתית. ילד מסורבל, מתקשה בתפקוד המוטורי, או חרד מהינתקות מהקרקע בגלל מערכת תחושתית פגועה מסתכן לא רק ביכולות פיזיות נחותות, אלא עשוי גם להתקשות בחשיבה מרחבית. במקרים כאלו חשבו שהילד יופנה לטיפול אצל מרפאה בעיסוק.

גם השפה חשובה בהתגבשות מושגי יסוד במרחב, וילדים שאינם זוכים לכך שמבוגרים סביבם ישתמשו בשפה בצורה מדויקת יגלו קשיים בהבנת מושגי מרחב. אם אבא או אמא מרבים לומר לי "שם" או "כאן" במקום המונח המדויק – "מעל השולחן", בתוך הקופסא", "מאחורי הדלת", אין פלא שלא פיתחתי הבחנה מדויקת של מושגי המרחב. במקרים אחרים נראה קושי בהבנת הוראות, הקשור לקושי בהבנה בכלל. אצל עמיר ראתה הגננת קושי בהבנה של סיפורים, הוראות וכללי משחק וגם קושי בהמשגה במרחב. היא הציעה להוריו לפנות לאבחון פסיכולוגי, ובהמשך קיבל עמיר בגן סיוע מגננת שי"ח (גננת שעובדת בצורה פרטנית עם ילדי גן, ויש לה הכשרה מיוחדת לצורך כך).

 

משמעויות מעשיות עבור ההורים:

חשיבה חשבונית נמצאת בכל היבט של החשיבה שלנו, ובחוויות הראשוניות בעולם הילדים עוד בינקות. לכן כל עידוד של השפה, ההתנסות החושית או ההבחנה הלוגית פועלת על מנת לסייע בחשיבה החשבונית.

ישנם מספר חוקים מארגנים שעליהם מתבססת המתמטיקה, ולכל אחד מהם רצוי למצוא "תרגום" בחיי היום יום. חוקים אלו מופיעים בפירוט בגוף המאמר. תוכלו למצוא פעילויות רבות באתר זה המבססות הבנה זו.

יותר משהילדים לומדים באמצעים פורמליים (חוברות עבודה, תירגול מכוון, שאלות ותשובות) הילדים לומדים באופן התנסותי. נסו להצביע בפניהם על תהליכים כמותיים שמתרחשים במהלך חייהם, למשל, איך מחלקים את הבובות בין שני החברים, או כמה תפוחים צריך לקחת איתנו לפיקניק אם רוצים תפוח לכל אחד מאתנו). השאלות יהפכו למשמעותיות יותר ולקרובות יותר לליבם.

קשיי בתפיסה החשבונית יכולים להיות קשורים לקשיים התפתחותיים אחרים, ולכן כדאי להיות ערניים ולטפל גם בתחומים שנראים לא קשורים, כמו ההתפתחות המוטורית, התפתחות השפה והחשיבה בכלל.

 

קריאה נוספת:

על חיזוקים ועונשים

המושגים חיזוק חיובי ושלילי הפכו מקובלים למדי, אבל לפעמים זה לא כל כך פשוט כפי שזה נשמע. בעיקר חשוב לא לבלבל בין חיזוק שלילי לעונש, ולדעת כי עונש עשוי להיות לעיתים חיזוק חיובי, במשמעות בו הגדיר אותו הפסיכולוג והחוקר סקינר, "אירוע שמעלה את הסיכוי להופעת התנהגות שקדמה לו". המאמר דן בדרכים המתאימות להשתמש בחיזוקים ובעונשים לצורך יצירת שינוי.

הפרעת קשב וריכוז - מורה נבוכים

מה זו בעצם הפרעת קשב וריכוז? מה ההבדל בין קשב לריכוז? האם ניתן לראות את הקושי בקשב וריכוז כבר בגיל הגן? ומה אפשר לעשות עם זה בכלל? במאמר זה ננסה לתת חלק מהתשובות, ולהפיג חלק מהבלבול.